Tümevarım (Oğuzhan Kulgi)

TÜMEVARIM YÖNTEMİ NEDİR ?

Tümevarım, Tekil ve tikelden tümeli, özelden geneli çıkaran uslamlama yöntemi... Francis Bacon, bilimsel araştırma yönteminin felsefesel içeriğini saptayarak tümevarımı şöyle tanımlamıştır: “bilmek için sınamak, gözlemlemek, olayları çözümlemek ve sonra ayrı olaylardan genellemeler yapmak ve sonuçlar çıkarma yöntemi” . tümevarım yöntemi , bilimsel önemini 17. ve 18. yüzyıllarda kazanmış ve Francis Bacon, Galile , Newton ve John StuartMill’in katkılarıyla bir hayli gelişmiştir. Bugün iki türlü tümevarım ayırt edilmektedir: Bir sınıfa giren bütün öğelerin incelenmesi sonucu olan tam tümevarım, bütün öğelerin incelenemeyeceği durumlarda zorunlu olarak başvurulan ve çok sayıda öğenin incelenmesiyle yetinen eksik tümevarım. Eksik tümevarımlarda varılan sonuç belkili bir sonuçtur. Örneğin birçok kedinin kuyruklu olduğuna bakarak bütün kedilerin kuyruklu olduğu yolunda tümevarımsal bir sonuç çıkarırız, ne var ki Man adalarında yaşayan kediler kuyruksuzdur. Bu yüzden “bütün kediler kuyrukludur” dememiz daha doğru olurdu.

Deneysel bilimler, olaylardan yasalara götüren bir yöntem olan tümevarım yöntemini kullanırlar, tümdengelimi kullanırlar .örneğin bir buz parçasının ateş üstünde eridiğini birçok kez görsek “ateş buzu eritir” tümevarımını uslamlarız. Bilim, şöyle bir tasımlama yaparak bunu yasalaştırır: birinci öncüle nedensellik ilkesini koyar ve “ aynı nedenler aynı koşullarda aynı sonuçlar verir” der. İkinci öncüle deneylerimizin sonuçlarını yerleştirir ve “ateş buzu eritir” der. Sonra bu sonucu tümelleyip bilimsel bir yasa haline getirir ve “ısı her zaman buzu suya dönüştürür” der. Bu yasayı bilimsel olarak ortaya koyan , görüldüğü gibi, nedensellik ilkesidir, sadece gözlemlerimiz ve deneylerimiz değildir

Diyalektik materyalizm, tümevarımla tümdengelimi, bilgi sürecinin, birbirlerini belirleyen ve kopmaz bir bağımlılık içinde bulunan yanları olarak görür; ayrı ayrı yeterli bulmaz ve bunlardan birinin saltıklaştırılmasına karşıdır. Tümevarımla tümdengelimin bağımlılığı, kuramla kılgının bağımlılığı gibidir. Deneysel verilerden kuramsal sonuçlar çıkarılırken (tümevarım) o kuramsal sonuçları deneyleyerek (tümdengelim) doğrulamak gerekir.

Matematiksel tümevarım bir önermenin, genellikle tüm doğal sayılar için ya da bazen sonsuz bir sıranın tüm elemanları için, doğru olduğunu göstermek üzere kullanılan bir Matematiksel kanıtlama yöntemidir. Matematiksel mantıkve bilgisayar bilimlerindekullanılan daha genel bir tanıtlama biçimi değerlendirilebilen (hesaplanabilen) ifadelerin (dil için geçerli sözdizimlerinin) denk olduğunu gösterir. Buna yapısal tümevarım denir.Matematiksel tümevarımın en basit ve en sık kullanılan şekli bir önermenin tüm doğal sayılar n için doğru olduğunu gösterir ve iki adımda gerçekleştirilir:

1.     Önermenin n = 0 için doğru olduğunu göstermek

2.     Önerme n = m için doğru ise aynı önermenin n = m + 1 için de doğru olacağını göstermek

Bu iki adımın neden yeterli olduğunu anlamak için domino etkisi örneğini göz önünde bulundurmak yeterli olacaktır. Baş başa dizilmiş olan bir domino taşları sırası var ve

1.     ilk domino taşını devirmek mümkün ise ve

2.     bir domino taşı devrildiğinde komşu taş da devriliyorsa, aynı şekilde dizilmiş olan ve sıranın devamı olan bütün domino taşlarının devrileceği sonucuna varılabilir.

Matematiksel tümevarım, kümeler için öngörülen iyi-sıralılık denktir.

P(n) bir açık önerme, a önermeyi doğrulayan en küçük sayma sayısı olmak üzere, P(n) nin doğruluğunu göstermek için;

·         P(a) nın doğru olduğu gösterilir.

·         P(n) nin doğru olduğu kabul edilir.

·         P(n+1) in doğru olduğu gösterilir.

P(n) önermesinin doğruluğunu ispatlamak için kullanılan bu yönteme, tümevarım yöntemi adı verilir.

Örnek;

·         P(n) : 2+4+6...+ 2n=n(n+1) olduğunu tümevarım ispat yöntemi ile gösterelim.

·         n=1 için, P(1): 2.1=1.(1+1)→ 2=2→ P(1) doğrudur.

·         n=k için, P(k):2+4+6...+2k=k(k+1) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

·         n=(k+1) için, P(k+1): 2+4+6+...+2k+2(k+1)=(k+1)(k+2) olduğunu gösterelim.

·         2+4+6...+2k=k(k+1) eşitliğinin her iki tarafına 2(k+1) ekleyelim.

·         2+4+6...+2k+2(k+1)=k.(k+1)+2(k+1)→P(k+1) doğrudur.

·         P(k+1) doğru olduğundan P(n) önermesi doğru olur.

Tümevarım ilkesinin kanıtı

Bir an için teoremin doğru olmadığını varsayalım. Bu durumda,  kumesi boştan farklidir. Yukarıda bahsettiğimiz iyi siralama ilkesine gore, S kumesinin bir en kuçuk elemana sahip olması gerekir. Buna s diyelim. Yani, P(s) doğru değildir. Teoremin 1 numaralivarsayiminagore P(m) doğru olmalı ve bu da s > m olmasını gerektirir. Buradan da P(s-1) önermesinin var olduğunu soyleyebiliriz. Ancak s-1 sayısı s’den kucuk olduğu icin P(s-1) doğru olmak zorunda, çunku s’nin P(s)’in doğru olmadığı en kuçuksayi olduğunu kabul ettik. Yani . Bu da P(s-1)’in dogruolmasi demek. Ancak teoremin ikinci varsayiminagore P(s) = P((s-1)+1) doğru olmali ve bu da  olmasıyla çelişir.